Die nächste Folge folgt

Nachdem ich im letzten Post darüber geschrieben habe, dass die Dezimaldarstellung von 1/81 die natürlichen Zahlen und jene von 1/89 die Fibonacci-Folge ergibt, bin ich nun der nächsten Zahlenfolge auf die Schliche gekommen, die ein solches Verhalten zeigt.
Es handelt sich um die Dreieckszahlen, der Reihe, die die Summen der ersten n natürlichen Zahlen angibt. Also:

d(1) = 1       = 1

d(2) = 1+2     = 3
d(3) = 1+2+3   = 6

d(4) = 1+2+3+4 = 10

usw.
Für diese Reihe kann auch die Gauß'sche Summenformel verwendet werden, was die Formel d(n) = n*(n+1)/2 ergibt. Die Dreieckszahlen haben viele interessante Eigenschaften, die an anderer Stelle ausführlich nachzulesen sind.
Was ich jedoch noch nirgendwo gelesen habe, ist, dass die Dreieckszahlen die Dezimaldarstellung von 1/729 bilden. Dabei wird nach dem Additionsverfahren vorgegangen, das ich im letzten Post gezeigt habe. Es ergibt sich:
0,00137174211248...
Da, wie gesagt, 81 als Nenner des Natürliche-Zahlen-Bruchs einen Zusammenhang zum verwendeten Stellenwertsystem aufweist, habe ich auch über die beiden anderen Nenner weiter nachgedacht, also 89 für die Fibonacci-Folge und 729 eben für die Dreieckszahlen. 89 ist die elfte Fibonacci-Zahl, also gilt in anderen Systemen mit der Basis b vielleicht Gleiches für die (b+1)te Fibonacci-Zahl? Zu 729 habe ich bisher nur herausgefunden, dass 729 = (3^3)^3 ist.

Wie mir jetzt erst eingefallen ist, hat die Sache mit den Brüchen und den Folgen aber noch eine ganz andere Bedeutung: Gebrochene Zahlen sind entweder endlich oder periodisch. Auch unsere Brüche, die summierte Zahlenfolgen darstellen, werden sich also ab einer bestimmten Stelle wiederholen. Bei 1/81 ist das schnell zu sehen, die Periode hat die Länge 9 und lautet [012345679]. Für die Berechnung der anderen Perioden bietet Arndt Brünner auf seinen Mathematik-Seiten ein Tool mit ausführlicher und sehr interessanter Erläuterung. Für 1/89 ergibt sich damit die Periodenlänge 44 und für 1/729 die Länge 81.