Einundachzigstel

Es gibt einige hochinteressante und dabei sehr unterhaltsame Bücher, die sich mehr oder weniger populärwissenschaftlich mit Mathematik befassen. Ein etwas verschrobenes unter ihnen ist Dr. Googols wundersame Welt der Zahlen von Clifford A. Pickover. Während die Geschichten, die Pickover um die einzelnen Knobeleien spinnt, teilweise recht bizarr wirken, und der verwendete Zeichensatz (zumindest in der deutschen Ausgabe) einige Blüten treibt, sind die behandelten Rätsel und Phänomene doch sehr bereichernd, und teilweise verwundert es, welche phantastischen mathematischen Zusammenhänge dermaßen unbekannt sind. Einer dieser Fakten, der für mich höchst erstaunlich war, ist die Verbindung einer Zahlenreihe mit der Dezimaldarstellung eines Bruches.
Die Fibonacci-Folge ist die Zahlenreihe, die ensteht, wenn man mit den Zahlen 0 und 1 beginnt, und jedes folgende Glied so wählt, dass es der Summe der beiden vorangehenden Glieder entspricht. Die ersten Fibonacci-Zahlen lauten:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
So weit, so gut. Doch nun tritt die Dezimaldarstellung des Bruches 1/89 hinzu:
0,01123595505...
Sie nämlich bildet die Fibonacci-Folge ab! Halt, wird man nun fragen, das sieht doch ganz anders aus? Die Anwort ist, dass man die Mehrstelligkeit der Zahlen beachten muss. Bei folgender Rechnung wird das klar:
  0
   1
    1
     2
      3
       5
        8
        13
         21
          34
           55
            89
            144
             ... 
_______________ 
0,01123595505...

Von dieser faszinierenden Tatsache inspiriert fragte ich mich, ob es weitere Zahlenreihen gibt, die sich als Dezimalbruch darstellen lassen. Und ich stieß auf 1/81.
         0
          1 
           2
            3
             4
              5
               6
                7
                 8
                  9
                  10
                   11
                    12
                     13
                      14
                       15
                        ..
         ___________________
1/81 = 0,0123456790123456...

Dieser Bruch bildet die natürlichen Zahlen ab!
Was ist an 81 so besonders? Um das zu verstehen, prüfte ich dasselbe in einigen anderen Stellenwertsystemen, und entdeckte, dass beispielsweise im Hexalsystem 1/25 die natürlichen Zahlen ergibt. 25 ist 5 mal 5, 81 ist 9 mal 9. Das bedeutet also: Das Reziproke des Quadrates der um 1 verminderten Basis eines Stellenwertsystems stellt die Folge der natürlichen Zahlen in diesem Stellenwertsystem dar.