Die nächste Folge folgt

Nachdem ich im letzten Post darüber geschrieben habe, dass die Dezimaldarstellung von 1/81 die natürlichen Zahlen und jene von 1/89 die Fibonacci-Folge ergibt, bin ich nun der nächsten Zahlenfolge auf die Schliche gekommen, die ein solches Verhalten zeigt.
Es handelt sich um die Dreieckszahlen, der Reihe, die die Summen der ersten n natürlichen Zahlen angibt. Also:

d(1) = 1       = 1

d(2) = 1+2     = 3
d(3) = 1+2+3   = 6

d(4) = 1+2+3+4 = 10

usw.
Für diese Reihe kann auch die Gauß'sche Summenformel verwendet werden, was die Formel d(n) = n*(n+1)/2 ergibt. Die Dreieckszahlen haben viele interessante Eigenschaften, die an anderer Stelle ausführlich nachzulesen sind.
Was ich jedoch noch nirgendwo gelesen habe, ist, dass die Dreieckszahlen die Dezimaldarstellung von 1/729 bilden. Dabei wird nach dem Additionsverfahren vorgegangen, das ich im letzten Post gezeigt habe. Es ergibt sich:
0,00137174211248...
Da, wie gesagt, 81 als Nenner des Natürliche-Zahlen-Bruchs einen Zusammenhang zum verwendeten Stellenwertsystem aufweist, habe ich auch über die beiden anderen Nenner weiter nachgedacht, also 89 für die Fibonacci-Folge und 729 eben für die Dreieckszahlen. 89 ist die elfte Fibonacci-Zahl, also gilt in anderen Systemen mit der Basis b vielleicht Gleiches für die (b+1)te Fibonacci-Zahl? Zu 729 habe ich bisher nur herausgefunden, dass 729 = (3^3)^3 ist.

Wie mir jetzt erst eingefallen ist, hat die Sache mit den Brüchen und den Folgen aber noch eine ganz andere Bedeutung: Gebrochene Zahlen sind entweder endlich oder periodisch. Auch unsere Brüche, die summierte Zahlenfolgen darstellen, werden sich also ab einer bestimmten Stelle wiederholen. Bei 1/81 ist das schnell zu sehen, die Periode hat die Länge 9 und lautet [012345679]. Für die Berechnung der anderen Perioden bietet Arndt Brünner auf seinen Mathematik-Seiten ein Tool mit ausführlicher und sehr interessanter Erläuterung. Für 1/89 ergibt sich damit die Periodenlänge 44 und für 1/729 die Länge 81.

Einundachzigstel

Es gibt einige hochinteressante und dabei sehr unterhaltsame Bücher, die sich mehr oder weniger populärwissenschaftlich mit Mathematik befassen. Ein etwas verschrobenes unter ihnen ist Dr. Googols wundersame Welt der Zahlen von Clifford A. Pickover. Während die Geschichten, die Pickover um die einzelnen Knobeleien spinnt, teilweise recht bizarr wirken, und der verwendete Zeichensatz (zumindest in der deutschen Ausgabe) einige Blüten treibt, sind die behandelten Rätsel und Phänomene doch sehr bereichernd, und teilweise verwundert es, welche phantastischen mathematischen Zusammenhänge dermaßen unbekannt sind. Einer dieser Fakten, der für mich höchst erstaunlich war, ist die Verbindung einer Zahlenreihe mit der Dezimaldarstellung eines Bruches.
Die Fibonacci-Folge ist die Zahlenreihe, die ensteht, wenn man mit den Zahlen 0 und 1 beginnt, und jedes folgende Glied so wählt, dass es der Summe der beiden vorangehenden Glieder entspricht. Die ersten Fibonacci-Zahlen lauten:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
So weit, so gut. Doch nun tritt die Dezimaldarstellung des Bruches 1/89 hinzu:
0,01123595505...
Sie nämlich bildet die Fibonacci-Folge ab! Halt, wird man nun fragen, das sieht doch ganz anders aus? Die Anwort ist, dass man die Mehrstelligkeit der Zahlen beachten muss. Bei folgender Rechnung wird das klar:
  0
   1
    1
     2
      3
       5
        8
        13
         21
          34
           55
            89
            144
             ... 
_______________ 
0,01123595505...

Von dieser faszinierenden Tatsache inspiriert fragte ich mich, ob es weitere Zahlenreihen gibt, die sich als Dezimalbruch darstellen lassen. Und ich stieß auf 1/81.
         0
          1 
           2
            3
             4
              5
               6
                7
                 8
                  9
                  10
                   11
                    12
                     13
                      14
                       15
                        ..
         ___________________
1/81 = 0,0123456790123456...

Dieser Bruch bildet die natürlichen Zahlen ab!
Was ist an 81 so besonders? Um das zu verstehen, prüfte ich dasselbe in einigen anderen Stellenwertsystemen, und entdeckte, dass beispielsweise im Hexalsystem 1/25 die natürlichen Zahlen ergibt. 25 ist 5 mal 5, 81 ist 9 mal 9. Das bedeutet also: Das Reziproke des Quadrates der um 1 verminderten Basis eines Stellenwertsystems stellt die Folge der natürlichen Zahlen in diesem Stellenwertsystem dar.

Schwächen unserer Demokratie I

Der Wähler spielt Stille Post. (Quelle)

 Ich bewege mich nun weiter in gesellschaftliche Themen. Dieser Post soll der Beginn einer neuen Reihe über die Schwächen unseres Staatsaufbaus und Gesellschaftssystems - sowohl in Deutschland als auch außerhalb - sein, in der ich über eine verbesserte Demokratie der Zukunft nachdenken möchte. Anfangen möchte ich mit dem Punkt: indirekter Einfluss auf die Exekutive.

Die moderne Demokratie basiert unter anderem auf einem entscheidenden Prinzip namens Gewaltenteilung, welches die autoritäre Bündelung von Macht verhindern soll. Die Staatsgewalt wird aufgeteilt in die Legislative (Gesetzgebung), die Judikative (Rechtssprechung) und die Exekutive (Ausführung). Dies ist an sich ein sehr sinnvolles und logisches Element. Doch wie bestimmt, wie benennt man nun die Mitglieder der verantwortlichen Institutionen? Die rechtssprechende Gewalt sollte natürlich, zumindest überwiegend, mit professionellen Juristen besetzt sein. Auch in den anderen beiden Bereichen empfehlen sich natürlich entsprechend qualifizierte Mitglieder, doch sollte hier nach meiner Auffassung eine andere grundlegende demokratische Methode zur Anwendung kommen: die allgemeine und direkte Wahl.
In Deutschland wählen wir unser oberstes gesetzgebendes Organ, den Bundestag, tatsächlich auf diese Weise. Anders hingegen sieht es aus bei der ausführenden Gewalt, also derjenigen, die die konkreten und tagespolitischen Entscheidungen letztendlich fällt, auf der Grundlage, die die beiden anderen Gewalten vorgeben. Diese vollziehende Gewalt als Volk direkt wählen zu können, wäre für mich der sinnvollste, einleuchtendste und sicherste Weg. Aber gegenwärtig ist unser Einfluss auf die Besetzung der Bundesregierung, dem obersten Organ der Exekutive, sehr indirekt:

• Zunächst wählt der Bundestag, vom Volke eingesetzt, den Bundeskanzler aus seiner Mitte. Hier können wir also noch die Vorauswahl der Kandidaten und gleichzeitig die "Wahlmänner" bestimmen.
• Danach schlägt der Bundeskanzler die Bundesminister vor, die vom Bundespräsidenten ernannt werden. In diesem Schritt ist unser Einfluss nun bereits doppelt indirekt, und dazu kommt: über die Kandidaten für das Kabinett haben wir überhaupt keine Entscheidungsmöglichkeit. Der Kanzler kann theoretisch jeden zum Minister ernennen. In unserer derzeitigen Regierung haben wir zum Beispiel Philipp Rösler, der nicht Mitglied des Bundestages ist und über den das Volk somit niemals abgestimmt hat.

Meine Vorstellung einer Verbesserung wäre also eine direkte Wahl der Exekutive. Ich bin auf Meinungen dazu gespannt.

Zauber der Evolution

© JoWa ↗

Anhänger der Schöpfungstheorie mögen diese als etwas Zauberhaftes ansehen. Aber für mich, muss ich sagen, entzaubert sie vielmehr das Leben auf unserer Erde. Dem Kreationismus zufolge hat sich die ganze Welt jemand ausgedacht und mit seinem Verstand sinnvolle Dinge hervorgebracht, die nun funktionieren. Eine Natur, in der alles seinen vorbestimmten Platz und eine Aufgabe zugeteilt bekommen hat.

© Christian Welte ↗

Doch wie viel spannender, beeindruckender, fantastischer ist es doch, diese Perfektion zu betrachten, von den Protonenpumpen in den Zellmembranen bis zu den Insektenstaaten und Symbiosegemeinschaften unterschiedlichster Lebewesen, mit dem Gedanken, dass dies alles ohne Sinn entstanden ist. Ganz zufällig, und doch unbestechlich logisch, unendlich schleichend, und doch urplötzlich, extrem zerbrechlich, und doch resistent gegen jede Etwaigkeit. Eine Ausbeulung, eine Unregelmäßigkeit im Gleichgewicht von Kraft und Materie im Kosmos, die prachtvollste Blüten trägt, die durch bloßes Hinauszögern der Nivellierung einen eigenen, einen neuen Sinn des Universums erschafft: das Leben.

Macht Wassereis dick?

Nachdem in den letzten Tagen endlich mal wieder sommerliche Temperaturen geherrscht haben, ist der Konsum an Wassereis auch meinerseits angestiegen. Dabei kam mir die Frage, ob ich denn überhaupt einen Energiegewinn zu verzeichnen habe, wenn ich das Eis esse - denn schließlich verbrauche ich beim Schmelzen des Eises Energie. Dies inspirierte mich zu einer kleinen Rechnung:

Die spezifische Schmelzwärme von gefrorenem Wasser beträgt 333,5 Kilojoule pro Kilogramm. Wenn ich 100 Gramm Wassereis esse, verbrauche ich also 33,35 Kilojoule. Dazu kommt die Energie, die ich für das Erwärmen der Nahrung auf Körpertemperatur benötige. Die spezifische Wärme von Wasser beträgt 4,187 Kilojoule pro Kilogramm und Kelvin, multipliziert mit mit 100 Gramm und 36 Kelvin ergibt das 15,07 Kilojoule. Insgesamt sind wir also bei 48,42 Kilojoule, die ich beim Verzehr von 100 Gramm Eis verliere, das entspricht 11,56 Kilokalorien.

Zum Vergleich: 100 Gramm meines Lieblingseises Capri besitzen einen Nährwert von 52 Kilokalorien. Also nehme ich summa summarum doch zu, wenn ich Eis schlecke. Nur etwa 22% der Kalorien verbrauche ich dabei gleich wieder.

Notiere: ...

Wer kennt das nicht - hin und wieder schwirren einem Ideen durch den Kopf, von denen man glaubt, sie einfach mal mitteilen zu müssen. Was eignete sich besser dafür als ein Blog? Mit diesen Gedanken habe ich nun beschlossen, auch mal unter die Blogger zu gehen. Ich bin selbst gespannt, was das hier für ein Blog werden und mit welchen Themen er sich beschäftigen wird. Mal schauen.